حل تمرین صفحه 57 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 1 صفحه 57 ریاضی دوازدهم ### الف) بخش‌پذیری بر $x + 1$ طبق **قضیه عامل‌ها**، چندجمله‌ای $f(x)$ بر $(x - a)$ بخش‌پذیر است اگر $f(a) = 0$. در اینجا مقسوم‌علیه $x + 1$ است، پس ریشه آن $a = -1$ است. مقدار $f(-1)$ را محاسبه می‌کنیم: $$f(x) = 2x^3 + x^2 + 1$$ $$f(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 + 1$$ $$f(-1) = 2(-1) + 1 + 1 = -2 + 2 = 0$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون } f(-1) = 0 \text{ است، } f(x) \text{ بر } (x + 1) \text{ بخش‌پذیر است.}$$ --- ### ب) نوشتن $f(x)$ به صورت حاصل ضرب عامل‌ها تقسیم $2x^3 + x^2 + 0x + 1$ بر $x + 1$ را انجام می‌دهیم: $$\begin{array}{r|l} 2x^3 + x^2 + 0x + 1 & x + 1 \-(2x^3 + 2x^2) & 2x^2 - x + 1 \\cline{1-1} -x^2 + 0x & \-(-x^2 - x) & \\cline{1-1} x + 1 & \-(x + 1) & \\cline{1-1} 0 & \\end{array}$$ خارج قسمت $Q(x) = 2x^2 - x + 1$ و باقیمانده $R = 0$ است. $$f(x) = (x + 1) Q(x) + R$$ $$\mathbf{f(x) = (x + 1)(2x^2 - x + 1)}$$ **توجه:** دلتای عامل $2x^2 - x + 1$ برابر $\Delta = (-1)^2 - 4(2)(1) = -7$ است. چون $\Delta < 0$，این عامل تجزیه حقیقی بیشتری ندارد.

حل تمرین 2 صفحه 57 ریاضی دوازدهم ### ب) $\lim_{x \to 5} \frac{x^3 - 4x^2 - 4x - 5}{x^2 - 25}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = 5$: $\frac{5^3 - 4(5^2) - 4(5) - 5}{5^2 - 25} = \frac{125 - 100 - 20 - 5}{25 - 25} = \frac{0}{0}$. (ابهام) 2. **رفع ابهام (تجزیه):** * **مخرج:** $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$. * **صورت:** چون $5$ ریشه صورت است، $(x - 5)$ عامل آن است. با تقسیم هورنر: $$\begin{array}{c|cccc} 5 & 1 & -4 & -4 & -5 \ \cline{2-5} & & 5 & 5 & 5 \ \cline{2-5} & 1 & 1 & 1 & 0 \ \end{array}$$ $$\text{صورت: } x^3 - 4x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x^2 + x + 1)$$ 3. **محاسبه حد:** $$\lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(x^2 + x + 1)}{(x - 5)(x + 5)} = \lim_{x \to 5} \frac{x^2 + x + 1}{x + 5}$$ $$\frac{5^2 + 5 + 1}{5 + 5} = \frac{25 + 6}{10} = \mathbf{\frac{31}{10} = 3.1}$$ --- ### پ) $\lim_{x \to -4} \frac{x^2 + 3x - 4}{x^3 + 7x^2 + x + 4}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = -4$: $\frac{(-4)^2 + 3(-4) - 4}{(-4)^3 + 7(-4)^2 + (-4) + 4} = \frac{16 - 12 - 4}{-64 + 7(16) - 4 + 4} = \frac{0}{-64 + 112} = \frac{0}{48}$. (عدم ابهام) 2. **محاسبه حد (مستقیم):** چون مخرج در نقطه حد مخالف صفر است، حد برابر مقدار تابع است. $$\lim_{x \to -4} \frac{x^2 + 3x - 4}{x^3 + 7x^2 + x + 4} = \frac{0}{48} = \mathbf{0}$$

حل تمرین 3 صفحه 57 ریاضی دوازدهم ### ب) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{2 - \sqrt{x + 1}}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = 3$: $\frac{3^2 - 9}{2 - \sqrt{3 + 1}} = \frac{0}{2 - 2} = \frac{0}{0}$. (ابهام) 2. **رفع ابهام (ضرب در مزدوج):** مزدوج مخرج $2 + \sqrt{x + 1}$ است. $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{2 - \sqrt{x + 1}} \times \frac{2 + \sqrt{x + 1}}{2 + \sqrt{x + 1}}$$ $$= \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(2 + \sqrt{x + 1})}{2^2 - (x + 1)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(2 + \sqrt{x + 1})}{4 - x - 1}$$ $$= \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(2 + \sqrt{x + 1})}{3 - x} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(2 + \sqrt{x + 1})}{-(x - 3)}$$ $$= \lim_{x \to 3} - (x + 3)(2 + \sqrt{x + 1})$$ 3. **محاسبه حد:** $$- (3 + 3) (2 + \sqrt{3 + 1}) = - (6) (2 + 2) = - (6)(4) = \mathbf{-24}$$ --- ### پ) $\lim_{x \to -8} \frac{2x + 16}{\sqrt[3]{x} + 2}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = -8$: $\frac{2(-8) + 16}{\sqrt[3]{-8} + 2} = \frac{-16 + 16}{-2 + 2} = \frac{0}{0}$. (ابهام) 2. **رفع ابهام (تجزیه صورت و مزدوج ریشه سوم):** * **صورت:** $2x + 16 = 2(x + 8)$. * **مخرج:** از اتحاد مجموع مکعب‌ها برای $\sqrt[3]{x} + 2$ استفاده می‌کنیم. $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. $$x + 8 = (\sqrt[3]{x} + 2)( (\sqrt[3]{x})^2 - 2\sqrt[3]{x} + 4)$$ $$\lim_{x \to -8} \frac{2(x + 8)}{\sqrt[3]{x} + 2} = \lim_{x \to -8} \frac{2(\sqrt[3]{x} + 2)( \sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4 )}{\sqrt[3]{x} + 2}$$ $$= \lim_{x \to -8} 2(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4)$$ 3. **محاسبه حد:** $$2(\sqrt[3]{(-8)^2} - 2\sqrt[3]{-8} + 4) = 2(\sqrt[3]{64} - 2(-2) + 4)$$ $$= 2(4 + 4 + 4) = 2(12) = \mathbf{24}$$

حل تمرین 4 صفحه 57 ریاضی دوازدهم ### ب) $\lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{|x|}$ 1. **صورت:** $-1$ (منفی) 2. **مخرج:** $|x|$. وقتی $x \to 0^-$, $|x| = -x \to 0^+$ (مثبت). $$\frac{-1}{0^+} = \mathbf{-\infty}$$ --- ### پ) $\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1}$ 1. **صورت:** $1$ (مثبت) 2. **مخرج:** $x - 1$. وقتی $x \to 1^-$ (از چپ، مثلاً $0.9$)، $x - 1$ یک عدد منفی بسیار کوچک است: $0^-$. $$\frac{1}{0^-} = \mathbf{-\infty}$$ --- ### ت) $\lim_{x \to 3} \frac{-1}{(x - 3)^2}$ 1. **صورت:** $-1$ (منفی) 2. **مخرج:** $(x - 3)^2$. همواره مثبت است (وقتی $x \ne 3$): $0^+$. $$\frac{-1}{0^+} = \mathbf{-\infty}$$ --- ### ث) $\lim_{x \to -\frac{1}{2}^-} \frac{4x + 1}{(2x + 1)^2}$ 1. **صورت:** $4x + 1 \to 4(-\frac{1}{2}) + 1 = -2 + 1 = -1$. (منفی) 2. **مخرج:** $(2x + 1)^2$. همواره مثبت است (وقتی $x \ne -\frac{1}{2}$): $0^+$. $$\frac{-1}{0^+} = \mathbf{-\infty}$$ --- ### ج) $\lim_{x \to (-2)^-} \frac{-3x}{x^2 - 4}$ 1. **صورت:** $-3x \to -3(-2) = 6$. (مثبت) 2. **مخرج:** $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. * $x \to (-2)^-$ (از چپ): $(x - 2) \to -4$ (منفی)، $(x + 2) \to 0^-$ (منفی). * مخرج: $(-4)(0^-) = 0^+$. $$\frac{6}{0^+} = \mathbf{+\infty}$$ --- ### خ) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{\cos x}$ 1. **صورت:** $1$ (مثبت) 2. **مخرج:** $\cos x$. وقتی $x \to \frac{\pi}{2}^+$ (از راست، ربع دوم)، $\cos x$ به صفر میل می‌کند و در ربع دوم منفی است: $0^-$. $$\frac{1}{0^-} = \mathbf{-\infty}$$ --- ### ر) $\lim_{x \to 3^-} \frac{[x] - 3}{x - 3}$ 1. **صورت:** $[x] - 3$. وقتی $x \to 3^-$ (از چپ، مثلاً $2.9$)، $[x] = 2$. صورت: $2 - 3 = -1$. (منفی) 2. **مخرج:** $x - 3$. وقتی $x \to 3^-$, $x - 3$ منفی است: $0^-$. $$\frac{-1}{0^-} = \mathbf{+\infty}$$ --- ### ز) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan x$ $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{\sin x}{\cos x}$$ 1. **صورت:** $\sin x \to \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. (مثبت) 2. **مخرج:** $\cos x$. وقتی $x \to \frac{\pi}{2}^+$ (از راست، ربع دوم)، $\cos x$ به صفر میل می‌کند و در ربع دوم منفی است: $0^-$. $$\frac{1}{0^-} = \mathbf{-\infty}$$

حل تمرین 5 صفحه 57 ریاضی دوازدهم ### الف) $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ به چه معناست؟ این عبارت به این معناست که وقتی مقادیر متغیر **$x$ از سمت چپ** (یعنی از مقادیر کوچکتر از ۲) به عدد **$2$ نزدیک می‌شوند**، مقدار تابع $f(x)$ بدون محدودیت **افزایش** می‌یابد و به **مثبت بی‌نهایت** ($\mathbf{+\infty}$) میل می‌کند. $$\mathbf{\text{توضیح:}} \text{ خط } x = 2 \text{ یک مجانب قائم برای } f \text{ است و نمودار تابع در سمت چپ } x=2 \text{ به سمت بالا می‌رود.}$$ --- ### ب) $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$ به چه معناست؟ این عبارت به این معناست که وقتی مقادیر متغیر **$x$ از سمت راست** (یعنی از مقادیر بزرگتر از ۲) به عدد **$2$ نزدیک می‌شوند**، مقدار تابع $f(x)$ بدون محدودیت **کاهش** می‌یابد و به **منفی بی‌نهایت** ($\mathbf{-\infty}$) میل می‌کند. $$\mathbf{\text{توضیح:}} \text{ خط } x = 2 \text{ یک مجانب قائم برای } f \text{ است و نمودار تابع در سمت راست } x=2 \text{ به سمت پایین می‌رود.}$$ --- ### پ) رسم نمودار و تعداد جواب **رسم نمودار:** یک تابع کسری که در $x=2$ مجانب قائم دارد و رفتار آن مطابق با شرایط داده شده است، می‌تواند به صورت زیر باشد: $$\mathbf{f(x) = \frac{-1}{x - 2}}$$ * $x \to 2^- \implies x - 2 \to 0^- \implies f(x) = \frac{-1}{0^-} = +\infty$ * $x \to 2^+ \implies x - 2 \to 0^+ \implies f(x) = \frac{-1}{0^+} = -\infty$ **تعداد جواب:** مسئله **بی‌شمار جواب** دارد. هر تابعی که بتواند مجانب قائم در $x=2$ داشته باشد و در دو طرف آن جهت نمودار به صورت قرینه تغییر کند (از بالا به پایین)، یک جواب است. ضرب این تابع در هر عدد ثابت مثبت نیز یک جواب دیگر است.